パルスで直交復調(6) -こんどこそ1-

今度はマジでパルす

そもそもの式は

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f\left(t\right)=a_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{a_n\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\}}\end{array}$$

めんどくさいので、答えだけ

$$\begin{array}{}\text{(2)}& a_0=\frac{t_p}{T}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& a_n=\frac{2}{\pi n}\sin \left(\frac{\pi n}{T}{t}_p\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f\left(t\right)=\frac{t_p}{T}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{\frac{2}{\pi n}\sin \left(\frac{\pi n}{T}{t}_p\right)\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\}}\end{array}$$

numpyで確認

1. # 変数クリア
2. from IPython import get_ipython
3. get_ipython().magic('reset -sf')
4.   
5. import matplotlib.pyplot as plt
6. import numpy as np
7.   
8. # よく使う変数
9. pi=np.pi
10.  
11. # 設定
12. T=1
13. tp=0.001 
14. repeat_num=20
15.  
16. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
17. t=np.arange(-T,T,0.00001)
18.   
19. # 式に値を入れて結果を得る
20. a=np.zeros(repeat_num)
21. f_t=np.zeros((repeat_num,t.size))
22. a[0]=tp/T
23. f_t[0,:]=np.ones_like(t)*a[0]
24. for n in range(1,repeat_num):
25.     a[n]=2/n/pi*(np.sin(n*pi/T*tp))
26.     f_t[n,:]=f_t[n-1,:]+a[n]*np.cos(2*pi*n/T*t)
27.   
28. # プロット
29. fig=plt.figure()
30. plt.plot(t,f_t[1],label="n=1")
31. plt.plot(t,f_t[2],label="n=1,2")
32. plt.plot(t,f_t[3],label="n=1,2,3")
33. plt.plot(t,f_t[4],label="n=1,2,3,4")
34. plt.plot(t,f_t[5],label="n=1,...,5")
35. plt.legend()
36.   
37. fig=plt.figure()
38. plt.plot(t,f_t[repeat_num-1],label="n=1,...,"+str(repeat_num))
39. plt.legend()

(4)でtの代わりにt-T/4と書けばよい。

答えがきれいにならないので、もうこれ以上やらない。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f\left(t\right)=\frac{t_p}{T}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{\frac{2}{\pi n}\sin \left(\frac{\pi n}{T}{t}_p\right)\cos \left(\frac{2\pi n}{T}(t-\frac{T}{4})\right)\}}\end{array}$$

numpyで確認

1. # 変数クリア
2. from IPython import get_ipython
3. get_ipython().magic('reset -sf')
4.   
5. import matplotlib.pyplot as plt
6. import numpy as np
7.   
8. # よく使う変数
9. pi=np.pi
10.   
11. # 設定
12. T=1
13. tp=0.001 
14. repeat_num=20
15.  
16. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
17. t=np.arange(-T,T,0.00001)
18.   
19. # 式に値を入れて結果を得る
20. a=np.zeros(repeat_num)
21. f_t=np.zeros((repeat_num,t.size))
22. a[0]=tp/T
23. f_t[0,:]=np.ones_like(t)*a[0]
24. for n in range(1,repeat_num):
25.     a[n]=2/n/pi*(np.sin(n*pi/T*tp))
26.     f_t[n,:]=f_t[n-1,:]+a[n]*np.cos(2*pi*n/T*(t-T/4))
27.   
28. # プロット
29. fig=plt.figure()
30. plt.plot(t,f_t[1],label="n=1")
31. plt.plot(t,f_t[2],label="n=1,2")
32. plt.plot(t,f_t[3],label="n=1,2,3")
33. plt.plot(t,f_t[4],label="n=1,2,3,4")
34. plt.plot(t,f_t[5],label="n=1,...,5")
35. plt.legend()
36.   
37. fig=plt.figure()
38. plt.plot(t,f_t[repeat_num-1],label="n=1,...,"+str(repeat_num))
39. plt.legend()

それらしい結果になりました。

 

で、一番低い周波数成分が、1/Tになっているので、矩形波と同じように、パルスで直交復調してもよいってことでしょ。