直交復調の式

せっかくCPFSK波形を作ったので直交復調してみたい。

その前に直交復調の計算について調べておく。

ということらしい。

なので、入力信号にcosωtをかけてLPFしたらI信号、sinωtをかけてLPFしたらQ信号。

局発周波数は入力信号がFSKの場合は、搬送波周波数と同じにするのが一般的らしい。

入力信号を

$$\begin{array}{}\text{(1)}& S\left(t\right)=A\cos \{({\omega }_c+{\omega }_d\left(t\right))t+{\theta }_c\}\end{array}$$

とし、

局発信号を

$$\begin{array}{}\text{(2)}& S_{LoI}\left(t\right)=\cos ({\omega }_{Lo}t+{\theta }_{Lo})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& S_{LoQ}\left(t\right)=\sin ({\omega }_{Lo}t+{\theta }_{Lo})\end{array}$$

とする。

まずはI信号を計算してみる。入力信号に局発を乗ずればいいので、

$$\begin{array}{}\text{(4)}& S_I\left(t\right)=S\left(t\right)\cdot S_{LoI}\left(t\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& S_I\left(t\right)=A\cos \{({\omega }_c+{\omega }_d\left(t\right))t+{\theta }_c\}\cdot \cos ({\omega }_{Lo}t+{\theta }_{Lo})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& S_I\left(t\right)=\frac{A}{2}\cos \{({\omega }_c+{\omega }_d\left(t\right)-{\omega }_{Lo})t+{\theta }_c-{\theta }_{Lo}\}+\frac{A}{2}\cos \{({\omega }_c+{\omega }_d\left(t\right)+{\omega }_{Lo})t+{\theta }_c+{\theta }_{Lo}\}\end{array}$$

LPFを通すと、

$$\begin{array}{}\text{(7)}& S_I\left(t\right)=\frac{A}{2}\cos \{({\omega }_c+{\omega }_d\left(t\right)-{\omega }_{Lo})t+{\theta }_c-{\theta }_{Lo}\}\end{array}$$

ここで、

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\omega }_c={\omega }_{Lo}\end{array}$$

であり、また、

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\theta }_{diff}={\theta }_c-{\theta }_{Lo}\end{array}$$

とすると、(7)は

$$\begin{array}{}\text{(10)}& S_I\left(t\right)=\frac{A}{2}\cos ({\omega }_d\left(t\right)\cdot t+{\theta }_{diff})\end{array}$$

と表せる。

同様にQ信号を計算すると、

$$\begin{array}{}\text{(11)}& S_Q\left(t\right)=-\frac{A}{2}\sin ({\omega }_d\left(t\right)\cdot t+{\theta }_{diff})\end{array}$$

(10)、(11)より、直交復調後の解析信号は

$$\begin{array}{}\text{(12)}& S_{qd}\left(t\right)=\frac{A}{2}{\exp }^{-j({\omega }_d\left(t\right)\cdot t+{\theta }_{diff})}\end{array}$$

と、表せる。