パルスで直交復調(2) -フーリエ級数展開-

フーリエ級数展開を思い出す

こういう場合。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_0=\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)dt}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& a_n=\frac{2}{T}{\displaystyle {\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& b_n=\frac{2}{T}{\displaystyle {\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\sin \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f\left(t\right)=a_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{a_n\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\}}\end{array}$$

こうなるらしい。

ここで、

$$\begin{array}{}\text{(5)}& a_0=0\end{array}$$

なのは、まぁそうかなっと。

で、cosはY軸について左右対称で、f(t)はまぁいうなれば左側を上下反転するわけなので、

$$\begin{array}{}\text{(6)}& a_n=0\end{array}$$

も、まぁそうかなっと。では、式(3)について、sinは原点について点対称で、f(t)も原点について点対称なので、

$$\begin{array}{}\text{(7)}& b_n=\frac{4}{T}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{T}{2}}\sin \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt}\end{array}$$

と、積分区間を半分にして、倍にしていいのかなっと。で、なんとか思い出し思い出し計算すると、

$$\begin{array}{}\text{(8)}& b_n=\frac{4}{T}\frac{T}{2\pi n}{[-\cos \left(\frac{2\pi n}{T}t\right)]}_0^{\frac{T}{2}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& b_n=\frac{2}{\pi n}(-\cos \pi n+1)\end{array}$$

となるので、

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rcl}{b}_1& =& \frac{4}{\pi }\\ b_2& =& 0\\ b_3& =& \frac{4}{3\pi }\\ b_4& =& 0\\ b_5& =& \frac{4}{5\pi }\\ ...\end{array}\end{array}$$

(5)(6)(10)を(4)に代入する。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }\sin \left(\frac{2\pi }{T}t\right)+\frac{4}{3\pi }\sin \left(3\frac{2\pi }{T}t\right)+\frac{4}{5\pi }\sin \left(5\frac{2\pi }{T}t\right)+...\end{array}$$

で、これをもう一度一般的に書き直すと、

$$\begin{array}{}\text{(12)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left\{(2n-1)\frac{2\pi }{T}t\right\}}{2n-1}}\end{array}$$

う～む、、、あっているのかわからないので、確かめてみる。

1. # 変数クリア
2. from IPython import get_ipython
3. get_ipython().magic('reset -sf')
4.  
5. import matplotlib.pyplot as plt
6. import numpy as np
7. import scipy.signal as signal
8.  
9. # よく使う変数
10. pi=np.pi
11.  
12. # 設定
13. T=1
14.  
15. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
16. t=np.arange(-T,T,0.01)
17.  
18. # 式に値を入れて結果を得る
19. f1_t=4/np.pi*np.sin(2*pi/T*t)
20. f2_t=f1_t+4/(3*np.pi)*np.sin(3*2*pi/T*t)
21. f3_t=f2_t+4/(5*np.pi)*np.sin(5*2*pi/T*t)
22. f4_t=f3_t+4/(7*np.pi)*np.sin(7*2*pi/T*t)
23. f5_t=f4_t+4/(9*np.pi)*np.sin(9*2*pi/T*t)
24. f6_t=f5_t+4/(11*np.pi)*np.sin(11*2*pi/T*t)
25. f7_t=f6_t+4/(13*np.pi)*np.sin(13*2*pi/T*t)
26.  
27. # プロット
28. fig=plt.figure()
29. plt.plot(t,f1_t,label="n=1")
30. plt.plot(t,f2_t,label="n=1,2")
31. plt.plot(t,f3_t,label="n=1,2,3")
32. plt.plot(t,f4_t,label="n=1,2,3,4")
33. plt.plot(t,f5_t,label="n=1,...,5")
34. plt.legend()
35.  
36. fig=plt.figure()
37. plt.plot(t,f7_t,label="n=1,...,7")
38. plt.legend()

どうやら、あっているらしい。

道のりが長い、、、