パルスで直交復調(3) -フーリエ級数展開-

 

T/4進んでるほうのパルスもどうなるのか（いちおう）考えておく

「パルスで直交復調(2) -フーリエ級数展開-」の(12)において、tの代わりにt+T/4と書けばいいだけなので、

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left\{(2n-1)\frac{2\pi }{T}(t+\frac{T}{4})\right\}}{2n-1}}\end{array}$$

numpyで使う分には、これでも良いっちゃ～良いんですが、見た目重視で書き直します。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& m=2n-1(m\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{数})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \omega =\frac{2\pi }{T}\end{array}$$

とすると、

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left\{m\omega (t+\frac{T}{4})\right\}}{m}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (m\omega t+m\omega \frac{T}{4})}{m}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (m\omega t+m\frac{\pi }{2})}{m}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin m\omega t\cos m\frac{\pi }{2}+\cos m\omega t\sin m\frac{\pi }{2}}{m}}\end{array}$$

ここで、mは奇数なので、常に

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \cos m\frac{\pi }{2}=0\end{array}$$

であり、

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}\sin m\frac{\pi }{2}=\{\begin{array}{ll}1& (n\mathrm{が}\mathrm{奇}\mathrm{数})\\ -1& (n\mathrm{が}\mathrm{偶}\mathrm{数})\end{array}\end{array}\end{array}$$

なので、(7)は、

$$\begin{array}{}\text{(10)}& f\left(t\right)=\frac{4}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n+1}\cos \left\{(2n-1)\frac{2\pi }{T}t\right\}}{(2n-1)}}\end{array}$$

となる。

う～む、、、あっているのかわからないので、確かめてみる。

1. # 変数クリア
2. from IPython import get_ipython
3. get_ipython().magic('reset -sf')
4.  
5. import matplotlib.pyplot as plt
6. import numpy as np
7. import scipy.signal as signal
8.  
9. # よく使う変数
10. pi=np.pi
11.  
12. # 設定
13. T=1
14.  
15. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
16. t=np.arange(-T,T,0.01)
17.  
18. # 式に値を入れて結果を得る
19. f1_t=4/np.pi*np.cos(2*pi/T*t)
20. f2_t=f1_t+((-1)**3)*4*np.cos(3*2*pi/T*t)/(3*np.pi)
21. f3_t=f2_t+((-1)**4)*4*np.cos(5*2*pi/T*t)/(5*np.pi)
22. f4_t=f3_t+((-1)**5)*4*np.cos(7*2*pi/T*t)/(7*np.pi)
23. f5_t=f4_t+((-1)**6)*4*np.cos(9*2*pi/T*t)/(9*np.pi)
24. f6_t=f5_t+((-1)**7)*4*np.cos(11*2*pi/T*t)/(11*np.pi)
25. f7_t=f6_t+((-1)**8)*4*np.cos(13*2*pi/T*t)/(13*np.pi)
26.  
27. # プロット
28. fig=plt.figure()
29. plt.plot(t,f1_t,label="n=1")
30. plt.plot(t,f2_t,label="n=1,2")
31. plt.plot(t,f3_t,label="n=1,2,3")
32. plt.plot(t,f4_t,label="n=1,2,3,4")
33. plt.plot(t,f5_t,label="n=1,...,5")
34. plt.legend()
35.  
36. fig=plt.figure()
37. plt.plot(t,f7_t,label="n=1,...,7")
38. plt.legend()

どうやらあっているらしい。
正直、(1)のままでも良かった；
、、、なかなか、直交復調にたどり着けない；

 

学生の頃、こういうツールがあったら少しは真面目に勉強したかもしれない。昔はホント何やっても五里霧中な感じで、やる気出なかったよなー