Sunday Engineer: パルスで直交復調(4) -そろそろ-

大体材料がそろってきたので、ようやく取り掛かろうと

入力信号

\begin{matrix} (1) & S (t) = A \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \end{matrix}

局発I

\begin{matrix} (2) & S_{L I} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cos {(2 n - 1) \frac{2 π}{T_{L}} t}}{(2 n - 1)} \end{matrix}

局発Q

\begin{matrix} (3) & S_{L Q} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin {(2 n - 1) \frac{2 π}{T_{L}} t}}{2 n - 1} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & ω_{L} = \frac{2 π}{T_{L}} \end{matrix}

とすると、(2)(3)はそれぞれ

\begin{matrix} (5) & S_{L I} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cos {(2 n - 1) ω_{L} t}}{(2 n - 1)} \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & S_{L Q} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin {(2 n - 1) ω_{L} t}}{2 n - 1} \end{matrix}

(5)(6)を展開するとそれぞれ

\begin{matrix} (7) & S_{L I} (t) = \frac{4}{π} \cos (ω_{L} t) - \frac{4}{3 π} \cos (3 ω_{L} t) + \frac{4}{5 π} \cos (5 ω_{L} t) - \frac{4}{7 π} \cos (7 ω_{L} t) + \dots \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & S_{L Q} (t) = \frac{4}{π} \sin (ω_{L} t) + \frac{4}{3 π} \sin (3 ω_{L} t) + \frac{4}{5 π} \sin (5 ω_{L} t) + \frac{4}{7 π} \sin (7 ω_{L} t) + \dots \end{matrix}

入力信号にI復調局発を乗ずると、

\begin{matrix} (9) & S_{I} (t) = A \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} {\frac{4}{π} \cos (ω_{L} t) - \frac{4}{3 π} \cos (3 ω_{L} t) + \frac{4}{5 π} \cos (5 ω_{L} t) - \frac{4}{7 π} \cos (7 ω_{L} t) + \dots} \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} S_{I} (t) = \frac{4 A}{π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \cos (ω_{L} t) \\ - \frac{4 A}{3 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \cos (3 ω_{L} t) \\ + \frac{4 A}{5 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \cos (5 ω_{L} t) \\ - \frac{4 A}{7 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \cos (7 ω_{L} t) + \dots \end{array} \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \begin{array}{r} S_{I} (t) = \frac{2 A}{π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} - ω_{L} t} + \frac{2 A}{π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} + ω_{L} t} \\ - \frac{2 A}{3 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} - 3 ω_{L} t} - \frac{2 A}{3 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} + 3 ω_{L} t} \\ + \frac{2 A}{5 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} - 5 ω_{L} t} + \frac{2 A}{5 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} + 5 ω_{L} t} \\ - \frac{2 A}{7 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} - 7 ω_{L} t} - \frac{2 A}{7 π} \cos {(ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c} + 7 ω_{L} t} + \dots \end{array} \end{matrix}

ここで、

\begin{matrix} (12) & ω_{L} = ω_{c} \end{matrix}

とすると、(11)は

\begin{matrix} (13) & \begin{array}{r} S_{I} (t) = \frac{2 A}{π} \cos (ω_{d} (t) t + θ_{c}) + \frac{2 A}{π} \cos {(2 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \\ - \frac{2 A}{3 π} \cos {(- 2 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} - \frac{2 A}{3 π} \cos {(4 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \\ + \frac{2 A}{5 π} \cos {(- 4 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} + \frac{2 A}{5 π} \cos {(6 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} \\ - \frac{2 A}{7 π} \cos {(- 6 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} - \frac{2 A}{7 π} \cos {(8 ω_{c} + ω_{d} (t)) t + θ_{c}} + \dots \end{array} \end{matrix}

となり、これにLPFを適用すると、

\begin{matrix} (14) & S_{I} (t) = \frac{2 A}{π} \cos (ω_{d} (t) t + θ_{c}) \end{matrix}

同様に入力信号にQ復調局発を乗じて、LPFを適用すると、

\begin{matrix} (15) & S_{Q} (t) = - \frac{2 A}{π} \sin (ω_{d} (t) t + θ_{c}) \end{matrix}

で、局発を正弦波とした場合と、同じ形の式になるので、
局発はパルスでも良い、、、という結論。
こんなにねちっこくやる必要があったのか？

2020年7月20日月曜日